Bruchrechnung

Selbst Oberstufenschüler scheitern immer wieder an den einfachen Regeln der Bruchrechnung. Der Taschenrechner hilft dann wenig, wenn man mit Variablen zu tun hat – wie z.B. bei der Ableitung von Funktionenscharen oder auch beim Lösen von Gleichungen. Daher legen Lehrer im Allgemeinen großen Wert darauf, dass sich Schüler mit Kürzen und Erweitern, sowie den Grundrechenarten auskennen. Hier erkläre ich die wichtigsten Regeln der Bruchrechnung, wie man sie bis zum Abitur braucht:

Statt  \frac{1}{2}  könnte man ebenso  1:2  schreiben und rechnen. Der Querstrich, der Zähler und Nenner voneinander trennt, ist nichts anderes als ein Geteiltzeichen.

\frac{2}{4}  Pizza sind 2 Stücke von 4 Stücken – wenn man eine Pizza in 4 gleichgroße Teile teilt. Das entspricht mengenmäßig der Hälfte der Pizza. Praktisch bedeutet das: Wenn man den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multipliziert, verändert sich nichts an der Menge, lediglich die Stückchen werden kleiner – dafür aber auch mehr. Der Mathematiker nennt das Erweitern:

\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}

Kürzen geht genau anders herum: Man sucht den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und dividiert durch ihn. Da man mit möglichst kleinen Zahlen rechnen möchte – ist im Kopf auch leichter – macht Kürzen durchaus Sinn.

Wer dem Bruch  \frac{24}{64}  nicht gleich ansieht, welcher der ggT ist, der kann auch in Etappen kürzen oder in Primfaktoren zerlegen. Da sowohl Zähler als auch Nenner gerade Zahlen sind, kann man immer kürzen indem man beide durch 2 teilt – und das wiederholt man, bis es nicht mehr geht: 

\frac{24}{64}=\frac{12}{32}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}

Hier wäre der ggT die Zahl 8 gewesen:   \dfrac{24 : 8}{64 : 8}=\dfrac{3}{8}

Tipp zur Teilbarkeit: Eine Zahl ist durch 3 ohne Rest teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Beispiel: 396. 3 + 9 + 6 = 18. Durch 4 kann man sie dividieren, wenn die letzten beiden Ziffern zusammen durch 4 teilbar sind. 396 ist durch 4 teilbar, da 96 : 4 = 24.

Brüche kann man erst dann addieren oder subtrahieren, wenn die Nenner gleich sind. Man sagt auch “gleichnamig” dazu. Durch Erweitern oder Kürzen macht man Brüche zuerst gleichnamig und addiert oder subtrahiert dann lediglich die Zähler:

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}
 ist dasselbe wie  
\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}

Beim Ableiten kommt es des Öfteren vor, dass man eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizieren muss. Das ist ganz einfach, wenn man die Regel für die Multiplikation zweier Brüche kennt: “Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.”
Stellt man sich dabei die ganze Zahl ebenfalls als Bruch vor – mit einer 1 im Nenner – dann merkt man, dass man eigentlich nur die Zahl mit dem Zähler des Bruches multiplizieren braucht:

4\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\cdot2}{1\cdot3}=\frac{8}{3}

Bei der Division verhält es sich wieder anders herum. Will man z.B. eine Gleichung mithilfe der pq-Formel lösen, muss man manchmal einen Bruch durch 2 dividieren. Dabei verdoppelt sich der Nenner. Bewiesen ist das schnell, denn man dividiert einen Bruch durch einen anderen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

\frac{5}{3}:2=\dfrac{\frac{5}{3}}{2}=\dfrac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{1}}=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{6}

Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, handelt es sich um einen sogenannten “unechten” Bruch. Man sollte dann Folgendes bemerken:

\frac{4}{2}= 2


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