Kategorie: Klasse 11-13

Lage von Geraden und Ebenen

Im dreidimensionalen Raum können Geraden und Ebenen verschieden angeordnet sein, sodass man folgende Möglichkeiten von Lagebeziehungen unterscheidet: parallel identisch bzw. enthalten schneidend orthogonal windschief Für eine Geradengleichung in Parameterform bzw. Punkt-Richtungsform braucht man einen Punkt der Geraden als Stützvektor und einen Richtungsvektor, den man sich auch aus zwei Punkten der Geraden (als Verbindungsvektor) errechnen kann: Für eine […]

Rotationsvolumen

Mit der Integralrechnung kann man die Fläche zwischen einem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen. Lässt man diese Kurve um die x-Achse drehen (rotieren), entsteht ein sogenannter Rotationskörper, dessen Volumen sich mit folgender Formel berechnen lässt: Fallbeispiel: Eine Glasmanufaktur bekommt den Auftrag, einen neuen Champagnerkelch zu entwerfen. Er soll 0,1 l Inhalt fassen und […]

Partielle Integration

Die Methode der partiellen Integration dient der Berechnung eines Integrals, dessen Integrand entweder ein Produkt ist oder auf anderem Wege schwieriger zu berechnen wäre. „Partiell“ bedeutet: teilweise, d.h. es entsteht bei der partiellen Integration wieder ein Integral, das man kennen sollte bzw., das sich durch erneute partielle Integration bestimmen lässt. Das ist insofern wichtig, da wir […]

Praxisbeispiel: Klobrille

Eine etwas skurrile Fragestellung befasst sich mit dem Flächeninhalt einer Klosettöffnung. Die Abbildung zeigt die durch Messen ermittelte Form: Eine grobe Schätzung durch Multiplikation der Abstände an der längsten und breitesten Stelle ließe einen Flächeninhalt von:    vermuten, aber das wäre nur eine schlechte Annäherung, denn es handelt sich hierbei um zwei aneinandergesetzte Parabeln, von denen eine nach […]

Ortskurve berechnen

Bei der Diskussion einer Funktionenschar, die zusätzlich zur Variablen noch einen oder mehrere Parameter (z.B. k oder t) enthält, wird häufig nach einer Ortskurve gefragt. Das macht insofern Sinn, da Scharen von Funktionen auch mehrere Funktionsgraphen haben, die wiederum ihre eigenen Extrem- und Wendepunkte besitzen. Eine Ortskurve ist die Funktion, die diese Punkte (Tiefpunkte, Hochpunkte oder Wendepunkte) graphisch gesehen miteinander […]

Steckbriefaufgaben

Mit einem Steckbrief sucht man nach einer Person, bei Steckbriefaufgaben in der Mathematik sucht man nach einer Funktion – genauer gesagt nach einer Funktionsvorschrift bzw. Funktionsgleichung. In diesem Artikel geht es um die Bestimmung von ganzrationalen Funktionen mithilfe gegebener Eigenschaften. Das ist eigentlich nichts anderes als die Umkehrung einer Kurvendiskussion. Vorgehensweise: 1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung […]

Gauß-Algorithmus

Spätestens wenn man Gleichungssysteme (LGS) mit drei oder mehr Gleichungen lösen will, bekommt man mit den bisher bekannten Verfahren Probleme. Die Fortführung des klassischen Additionsverfahrens ist der Gauß–Algorithmus. Man nennt dieses Verfahren auch Gaußsches Eliminationsverfahren, denn es fallen schrittweise Variablen weg. Der Vorteil dieses Verfahren liegt u.a. darin, dass man sich das Notieren der Variablen sparen kann. Das Anlegen einer […]

Extremwertaufgaben

Bei Extremwertaufgaben geht es um Optimierung. Man möchte z.B. wissen, bei welcher Menge der Gewinn am größten (maximal) ist oder die Kosten am niedrigsten (minimal) sind. Wer bereits den Ableitungsbegriff kennt und verschiedene Funktionstypen ableiten kann, wird bald den Sinn und Zweck des Ganzen erkennen. Mithilfe der Differenzialrechnung lassen sich nämlich Extremstellen bzw. Extrempunkte exakt und direkt berechnen. Das kommt […]

Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen, die aus einer Zählerfunktion und einer Nennerfunktion bestehen:   Sie weisen gegenüber ganzrationalen Funktionen Besonderheiten auf, denn die Variable – hier x – steht bei echt gebrochenrationalen Funktionen (auch) im Nenner. Direkt zum Zahlenbeispiel 1. Definitionsbereich Da man durch Null nicht dividieren kann, ist eine gebrochenrationale Funktion an diesen Stellen nicht definiert: […]

Kurvendiskussion

Einen großen Teil der Oberstufe beschäftigt man sich mit Kurven. Viele Dinge unseres Lebens zeichnen sich durch einen kurvigen Verlauf aus. Die Abbildung zeigt z.B. zwei Kamelhöcker und den gekrümmten Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, der annähernd die Silhouette dieser Höcker beschreibt: Wie man unschwer erkennen kann, sitzt man zwischen den Höckern – […]

Zusammenhang Ableitungen

Wenn man sich ins Gedächtnis ruft, worum es bei der Ableitung geht – um Steigung einer imaginären Tangente und damit um die Steigung an einem bestimmten Punkt der Kurve – dann kann man sich damit gute Eselsbrücken bauen. Die Abbildung zeigt die Ausgangsfunktion mit ihrer ersten, zweiten und dritten Ableitung: Extremstellen Der Graph der ersten […]

Polynomdivision

Im Rahmen der Differenzialrechnung kommt man kaum an der Polynomdivision vorbei. Spätestens, wenn es um die Analyse einer höhergradigen Polynomfunktion geht, kann man die Gleichungen nicht mehr wie gewohnt lösen. Das kann schlimmstenfalls dazu führen, dass man die ganze Aufgabe nicht bearbeiten kann. Wer sich das Verfahren auf die Schnelle wieder ins Gedächtnis rufen will […]

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Ich habe mal versucht, den Prozess des Lösens von Gleichungen mit ganzrationalen Funktionen zum Zwecke der Nullstellen-Bestimmung – wie sie bei Kurvendiskussionen ständig vorkommen – als Entscheidungsbaum bzw. Flussdiagramm darzustellen. Die Wahl der geeigneten Verfahren ist also nicht ganz so einfach, wie man vielleicht glauben mag. Es sind einige Ja/Nein – Entscheidungen. Wen wundert es […]

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