Flächeninhalt regelmäßiger Polygone am Beispiel eines regelmäßigen Achtecks
Will man eine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Achtecks in Abhängigkeit von der Seitenlänge a herleiten, gibt es dafür mehrere Möglichkeiten. Man kann das regelmäßige Vieleck (Polygon) z.B. in bekannte Figuren zerlegen. Die Abbildung zeigt eine mögliche Aufteilung in zwei Trapeze und ein Rechteck – aber auch andere Aufteilungen sind denkbar und sinnvoll. Wer es selbst einmal ausprobieren möchte, kann sich hier eine Vorlage zum Ausdrucken downloaden: Druckvorlage Achteck
4 Lösungswege findet man hier …
Alle regelmäßigen Vielecke mit n gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln lassen sich in gleich große (kongruente), gleichschenklige Dreiecke teilen:
Für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks gilt:
Auf dieses Beispiel bezogen, lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt berechnen:
ha entspricht dabei dem Radius des Inkreises ri
nach Pythagoras gilt:
Da ein regelmäßiges Achteck (Oktogon) aus acht gleich großen Dreiecken besteht, muss der Flächeninhalt auch 8-mal so groß sein:
Allgemein gilt für ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten:
Alternative 1:
ri entspricht dabei der Höhe auf a
Beim Achteck ist der Mittelpunktswinkel eines Kreisausschnitts und damit der Winkel des betrachteten Dreiecks ein Achtel des Vollwinkels groß:
Der Flächeninhalt des Achtecks lässt sich demnach wie folgt berechnen:
Was auch nicht verwundert, da:
Allgemein gilt somit für ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten:
Alternative 2:
Da die einzelnen Dreiecke gleichschenklig sind, sind die Basiswinkel eines jeden gleich groß. Sie ergänzen sich mit dem Mittelpunktswinkel α zu 180°. Daraus ergibt sich für den Innenwinkel β des Achtecks – und auch allgemein für den Innenwinkel regelmäßiger Polygone:
Damit gilt auch:
Alternative 3:
Aber auch andere Ansätze sind möglich, die sich über die Flächengleichheit der Teile ergeben:
Viel Spaß beim Knobeln und Ausprobieren weiterer Ansätze!