Horner-Schema

Eine Polynomfunktion (kurz: Polynom) ist eine ganzrationale Funktion. Dabei gibt der größte Exponent (Hochzahl) den Grad der Polynomfunktion an. Eine Polynomfunktion vierten Grades hat folgende allgemeine Form:

f(x)= ax^4+ bx^3 +cx^2+ dx+ e
mit a ≠ 0.

Gegeben ist eine Polynomfunktion vierten Grades:

f(x)=x^4-4x^3-3x^2+10x+8

Das Schema von Horner ist sowohl zur Bestimmung von Nullstellen, als auch zur schnellen Berechnung von Funktionswerten geeignet und bei den Schülern, die es kennen, meist beliebter als die Polynomdivision. Ziel ist es, den Grad der Funktion zu verringern.

Die Vorgehensweise zur Nullstellenbestimmung ist recht einfach. (Die schwarzen Rechenzeichen und Buchstaben dienen nur zu Verdeutlichung, man schreibt sie normalerweise nicht auf):

  1. Lege eine Tabelle an. In der ersten Zeile stehen die Koeffizienten a, b, c, …
    (das sind die Zahlen ohne x).
  2. Ermittle die erste Nullstelle durch Ausprobieren und schreibe sie in die zweite Zeile der ersten Spalte. Hier ist f(-1) = 0
  3. Den ersten Koeffizienten a kannst du sofort in die unterste Zeile der a-Spalte schreiben.
  4. Auf die Zahlen der zweiten Zeile kommst du, indem du immer den untersten Wert einer Spalte mit der Nullstelle multiplizierst:  1\cdot(-1)=-1 und das Ergebnis in die nächste Spalte schreibst.
  5. Jetzt brauchst du nur noch diese Zahl zu der darüber addieren und Punkt 4 so lange wiederholen, bis die unterste Zeile komplett ist.
  6. Die letzte Zahl der untersten Zeile ist der Funktionswert an der Stelle x. Wenn du also eine Nullstelle genommen hast, muss hier eine Null stehen!
 x  a  b  c  d  e
 1 -4  -3  10   8
+  +  +  +
x_1=-1 -1  5  -2 -8
=  =  = =
 1  -5  2   8 0

Die Zahlen der untersten Zeile bilden die Koeffizienten der um eins verringerten Polynomfunktion:

f_1(x)=x^3-5x^2+2x+8

Da diese wieder ein Absolutglied hat (die Zahl ohne x) müssen wir das Verfahren wiederholen. Dieses Mal ohne die Hilfszeilen. Durch Ausprobieren haben wir ermittelt, dass auch diese Funktion bei -1 eine Nullstelle besitzt:

 1 -5 2 8
x_2=-1 -1 6 -8
 1  -6  8  0

Auch hier lassen sich die Koeffizienten des reduzierten Polynoms direkt ablesen:

f_2(x)=x^2-6x+8

Um die Nullstellen dieser quadratischen Funktion zu finden, setzt man sie gleich null und löst diese entweder mit quadratischer Ergänzung, abc- oder pq-Formel:

x_{3,4}=3\pm\sqrt {9-8}

x_3=3-1=2

x_4=3+1=4

Damit sind alle Nullstellen gefunden: x_{1,2}=-1  ;  x_3=2  ;   x_4=4



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