Kniffelige Ungleichungen

Spätestens im Studium bekommt man es mit Betrags- und Bruchungleichungen zu tun. Sie weisen Besonderheiten auf, sodass man bei der Suche nach der Gesamtlösung verschiedene Fälle unterscheiden muss. Die Lösungsmengen sind in der Regel Intervalle.

1. Bruchungleichungen

Folgende Ungleichung soll gelöst werden: 

\dfrac{x+2}{x-1}\le4

Eine Ungleichung kann man wie eine Gleichung durch Äquivalenzumformung lösen, d.h. auf beiden Seiten darf ein beliebiger Term addiert oder subtrahiert, bzw. es darf mit einer positiven Zahl multipliziert oder durch eine solche dividiert werden, aber:
Bei der Multiplikation (und Division) mit einer negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen um!

Bei einer Bruchgleichung würde man die rechte Seite mit dem Nenner der linken Seite multiplizieren. Bei einer Ungleichung muss man allerdings beachten, dass der Nenner sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, das wiederum Einfluss auf das Relationszeichen hat. Man unterscheidet daher zwei Fälle: x − 1 > 0  und  x − 1 < 0
Achtung: Da der Nenner nicht null werden darf, ist das Ergebnis der Gleichung:
x − 1 = 0  ⇒  x = 1 nicht definiert und kann daher keine Lösung sein.

Fall 1 :    x − 1 > 0   ⇒    x > 1

\dfrac{x+2}{x-1}\le4\quad|\cdot(x-1)

x+2\le4(x-1)

x+2\le4x-4 \quad |-x +4

 6\le3x \quad | \ : 3

 2\le x

 x \ge 2

Die Lösung soll größer als 1 und größer oder gleich 2 sein. Das gilt nur für Zahlen, die größer oder gleich 2 sind:

L_1=[2;\infty[

Fall 2:    x − 1 < 0   ⇒    x < 1

\dfrac{x+2}{x-1}\le4\quad|\cdot(x-1)

x+2\ge4x-4

 x \le 2

Die Lösung soll kleiner als 1 und kleiner oder gleich 2 sein. Das gilt nur für Zahlen, die kleiner als 1 sind:

L_2={ ]\infty; 1[}

Die Gesamtlösung ergibt sich aus der Vereinigungsmenge:

L=L_1 \cup L_2={]\infty; 1[}\cup [2;\infty[

Die Probe mit 0,5, 1,5 und 2 bestätigt das Ergebnis.

2. Betragsungleichungen

Folgende Ungleichung soll gelöst werden:

|x+2|\le4

Auch hier müssen wir zwei Fälle unterscheiden, denn der Betrag einer Zahl ist immer positiv. Würde die Summe x + 2 eine negative Zahl ergeben, wäre der Betrag trotzdem positiv. Es gibt daher zwei Möglichkeiten:

Fall 1:    x + 2 ≥ 0   ⇒    x ≥ −2

x+2\le4\quad|  - 2

x\le2

Die Lösung soll größer oder gleich −2 und kleiner oder gleich 2 sein. Das gilt nur für Zahlen, die zwischen −2 und 2 liegen:  

L_1=[-2;2]

Fall 2:    x + 2 < 0    ⇒    x < −2

-(x+2)\le4

    -x-2\le4\quad|  + 2

    -x\le6 \quad | \ : (-1)

        x\ge -6

Die Lösung soll kleiner als −2 und größer oder gleich −6 sein. Das gilt nur für Zahlen, die zwischen −6 und −2 liegen:  

L_2=[-6;-2[

Die Gesamtlösung ergibt sich aus der Vereinigungsmenge:

L=L_2 \cup L_1={[-6; -2[}\cup [-2;2]=[-6;2]



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