Quadratische Funktionen

Eine der wohl bekanntesten quadratischen Funktionen, stellt die Flächeninhaltsfunktion eines Quadrates dar. Sie ergibt sich aus der Multiplikation der Seitenlängen, die beim Quadrat gleich lang sind:

A(x)=x\cdot x={ x }^{ 2 }

Setzt man für die Variable x mögliche Seitenlängen ein, dann erhält man folgende Funktionswerte:  

Seitenlänge

x

0

1

2

3

4

Flächeninhalt

A(x)

0

1

4

9

16

Die Menge aller zulässigen Werte für x gibt die Definitionsmenge an. Da eine Seitenlänge nicht kleiner als null sein kann, ist diese Funktion nur für x ≥ 0 definiert.

Die einfachste Form einer quadratischen Funktion lautet:

f(x)=x^2

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f(x)

16

9

4

1

0

1

4

9

16

Man erkennt, dass sich die Funktionswerte links- und rechtsseitig von x = 0  wiederholen. Das kommt durch die Multiplikation zweier negativer Werte, die immer zu einem positiven Ergebnis führt.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, in diesem Fall die Normalparabel:

Ihr Graph verläuft kurvenförmig – erst fallend, dann steigend – wobei der tiefste Punkt, der Scheitel, im Ursprung liegt. Die Normalparabel geht durch den Punkt (1|1). Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die Achsensymmetrie zur y-Achse.

Quadratische Funktionen können verschiedene Formen haben. Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

f(x)=ax^2+bx+c

Je nachdem, ob die Koeffizienten b oder c den Wert null haben, kann eine quadratische Funktion unterschiedlich aussehen. Lediglich  a  darf nicht null sein (ansonsten wäre es keine quadratische, sondern eine lineare Funktion).

a b c Beispiel Graph
1 0 0 x^2 Normalparabel
1 0 > 0 x^2+3 nach oben verschobene Normalparabel
1 0 < 0 x^2-3 nach unten verschobene Normalparabel
> 0 0 0 2x^2 nach oben geöffnete Parabel  U
< 0 0 0 -2x^2 nach unten geöffnete Parabel  ∩
|a| b c Beispiel Graph
> 1 0 0 2x^2 gestreckte (schmalere) Parabel
< 1 0 0 0,5x^2 gestauchte (breitere) Parabel
|a| (sprich: Betrag von a) ist immer positiv!

Je größer der Betrag von a ist, desto schmaler ist der Graph der Funktion.

Neben der Parameter– bzw. Polynomform-Schreibweise, gibt es noch die sogenannte Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion: 

f(x)=a(x-d)^2+e

Sie heißt so, weil man dabei die Koordinaten des Scheitelpunkts (höchster oder tiefster Punkt der Parabel) direkt ablesen kann:

S\left( { d }\,|\,{ e } \right)

a d e Beispiel Graph
1 > 0 0 (x-1)^2 um d Einheiten entlang der x-Achse nach rechts verschobene Normalparabel
1 < 0 0 (x+1)^2 um d Einheiten entlang der x-Achse nach links verschobene Normalparabel
1 > 0 > 0 (x-1)^2+3 um d Einheiten nach rechts und um e Einheiten nach oben verschobene Normalparabel
1 < 0 < 0 (x+1)^2-3 um d Einheiten nach links und um e Einheiten nach unten verschobene Normalparabel
> 1 > 0 > 0 2(x-1)^2+3 nach oben geöffnete, um den Faktor a gestreckte, nach rechts und oben verschobene Parabel

Mit einem grafikfähigen Taschenrechner, einer Mathe-App oder Plotter-Software kann man sich den Einfluss der Koeffizienten bzw. Parameter auf das Aussehen der Parabel leicht veranschaulichen.

Die folgende Abbildung zeigt einige Parabeln und deren Funktionsgleichungen:

Arten von Parabelnblau: f(x)=x^2  mit  S\left( { 0}\,|\,{ 0 } \right)
orange: f(x) =-(x-1)^2+3  mit  S\left( { 1 }\,|\,{ 3 } \right)
grün: f(x)=2(x-3)^2+3  mit   S\left( { 3 }\,|\,{ 3 } \right)



Deine Nachricht ...

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit einem Sternchen markiert *

Ergänze das leere Feld: * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.

Ich weiß, was Cookies sind und stimme der anonymisierten Datenspeicherung zu rein statistischen Zwecken zu. Mehr erfahren

Durch den Besuch dieser Webseite können Informationen über den Zugriff (Datum, Uhrzeit, betrachtete Seite) auf dem Server gespeichert werden. Diese Daten gehören nicht zu den personenbezogenen Daten, sondern sind anonymisiert. Sie werden ausschließlich zu statistischen Zwecken ausgewertet. Eine Weitergabe an Dritte, zu kommerziellen oder nicht-kommerziellen Zwecken, findet nicht statt.

Schließen