Quadratische Funktionen

Eine der wohl bekanntesten quadratischen Funktionen, stellt die Flächeninhaltsfunktion eines Quadrates dar. Sie ergibt sich aus der Multiplikation der Seitenlängen, die beim Quadrat gleich lang sind:

A(x)=x\cdot x={ x }^{ 2 }

Setzt man für die Variable x mögliche Seitenlängen ein, dann erhält man folgende Funktionswerte:  

Seitenlänge

x

0

1

2

3

4

Flächeninhalt

A(x)

0

1

4

9

16

Die Menge aller zulässigen Werte für x gibt die Definitionsmenge an. Da eine Seitenlänge nicht kleiner als null sein kann, ist diese Funktion nur für x ≥ 0 definiert.

Die einfachste Form einer quadratischen Funktion lautet:

f(x)=x^2

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f(x)

16

9

4

1

0

1

4

9

16

Man erkennt, dass sich die Funktionswerte links- und rechtsseitig von x = 0  wiederholen. Das kommt durch die Multiplikation zweier negativer Werte, die immer zu einem positiven Ergebnis führt.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, in diesem Fall die Normalparabel:

Ihr Graph verläuft kurvenförmig – erst fallend, dann steigend – wobei der tiefste Punkt, der Scheitel, im Ursprung liegt. Die Normalparabel geht durch den Punkt (1|1). Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die Achsensymmetrie zur y-Achse.

Quadratische Funktionen können verschiedene Formen haben. Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

f(x)=ax^2+bx+c

Je nachdem, ob die Koeffizienten b oder c den Wert null haben, kann eine quadratische Funktion unterschiedlich aussehen. Lediglich  a  darf nicht null sein (ansonsten wäre es keine quadratische, sondern eine lineare Funktion).

a b c Beispiel Graph
1 0 0 x^2 Normalparabel
1 0 > 0 x^2+3 nach oben verschobene Normalparabel
1 0 < 0 x^2-3 nach unten verschobene Normalparabel
> 0 0 0 2x^2 nach oben geöffnete Parabel  U
< 0 0 0 -2x^2 nach unten geöffnete Parabel  ∩
|a| b c Beispiel Graph
> 1 0 0 2x^2 gestreckte (schmalere) Parabel
< 1 0 0 0,5x^2 gestauchte (breitere) Parabel
|a| (sprich: Betrag von a) ist immer positiv!

Je größer der Betrag von a ist, desto schmaler ist der Graph der Funktion.

Neben der Parameter– bzw. Polynomform-Schreibweise, gibt es noch die sogenannte Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion: 

f(x)=a(x-d)^2+e

Sie heißt so, weil man dabei die Koordinaten des Scheitelpunkts (höchster oder tiefster Punkt der Parabel) direkt ablesen kann:

S\left( { d }\,|\,{ e } \right)

a d e Beispiel Graph
1 > 0 0 (x-1)^2 um d Einheiten entlang der x-Achse nach rechts verschobene Normalparabel
1 < 0 0 (x+1)^2 um d Einheiten entlang der x-Achse nach links verschobene Normalparabel
1 > 0 > 0 (x-1)^2+3 um d Einheiten nach rechts und um e Einheiten nach oben verschobene Normalparabel
1 < 0 < 0 (x+1)^2-3 um d Einheiten nach links und um e Einheiten nach unten verschobene Normalparabel
> 1 > 0 > 0 2(x-1)^2+3 nach oben geöffnete, um den Faktor a gestreckte, nach rechts und oben verschobene Parabel

Mit einem grafikfähigen Taschenrechner, einer Mathe-App oder Plotter-Software kann man sich den Einfluss der Koeffizienten bzw. Parameter auf das Aussehen der Parabel leicht veranschaulichen.

Die folgende Abbildung zeigt einige Parabeln und deren Funktionsgleichungen:

Arten von Parabelnblau: f(x)=x^2  mit  S\left( { 0}\,|\,{ 0 } \right)
orange: f(x) =-(x-1)^2+3  mit  S\left( { 1 }\,|\,{ 3 } \right)
grün: f(x)=2(x-3)^2+3  mit   S\left( { 3 }\,|\,{ 3 } \right)



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