Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen können ebenso wie quadratische Funktionen verschiedene Formen haben. Ein Beispiel für eine allgemeine quadratische Gleichung mit a ≠ 0 ist:

ax^2+bx+c=0

Für den Fall, dass b = 0 erhält man reinquadratische Gleichungen der Form:
ax^2+c=r

r steht dabei für irgendeine Zahl. Wenn es um die Berechnung von Nullstellen einer quadratischen Funktion geht, ist r = 0. Denn dafür sucht man die Werte für x, die die Gleichung: f(x) = 0 bzw. y = 0 erfüllen (das ist graphisch gesehen, ein Punkt auf der x-Achse).

   x^{2}=0                 \mid \sqrt{\; }
{ x }_{ 1,2 }=\pm \sqrt { 0 }
{ x }_{ 1,2 }={ 0 }

     L=\left \{ 0 \right \}

Eine Lösung

.. x^{2}=4                     \mid \sqrt{\; }
{ x }_{ 1,2 }=\pm \sqrt { 4 }
.. { x }_{ 1 }={ -2 }
.. {x }_{ 2 }=2

            L=\left \{ -2; 2\right \}

Zwei Lösungen

____________

   x^{2}=-4

ist nicht lösbar, da man aus einer negativen Zahl keine Quadratwurzel ziehen kann. Die Lösungsmenge ist leer:

   L=\left \{\,\right \}

Keine Lösung

Wie man sieht, hat eine quadratische Gleichung bis zu zwei Lösungen.

Andere reinquadratische Gleichungen sehen z.B. wie folgt aus. Diese lassen sich aber relativ einfach durch Äquivalenzumformungen in die obige Form bringen:

x^{2}-4=0
x^{2}=4

\mid +4 x^{2}+2=6
x^{2}=4
\mid -2

2x^{2}-8=0
2x^{2}=8
x^{2}=4

\mid +8
\mid \,:2
2x^{2}+2=10
2x^{2}= 8
x^{2}= 4
\mid -2
\mid \,:2

\frac{1}{2}x^{2}-2=0
\frac{1}{2}x^{2}=2
x^{2}=4

\mid +2
\mid \cdot \, 2
 \frac{1}{2}x^{2}+2=4
\frac{1}{2}x^{2}=2
x^{2}=4
\mid -2
\mid \cdot \, 2

Quadratische Gleichungen mit Brüchen sind einfach zu lösen, wenn man die Regeln der Bruchrechnung kennt. Bei der Division durch einen Bruch multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit dessen Kehrwert. Ganze Zahlen wandelt man bei Bedarf in Brüche um:

\frac{2}{3}x^{2}-\frac{8}{3}=0

\frac{2}{3}x^{2}=\frac{8}{3}

x^{2}=\frac{8}{2}

x^{2}=4

\mid +\frac{8}{3}

\mid \cdot \, \frac{3}{2}

  \frac{2}{3}x^{2}+\frac{1}{3}=3

 \frac{2}{3}x^{2}=\frac{9}{3}-\frac{1}{3}

    \frac{2}{3}x^{2}=\frac{8}{3}

      x^{2}=\frac{8}{2}

      x^{2}=4

\mid -\frac{1}{3}

 

\mid \cdot \, \frac{3}{2}

Es empfiehlt sich bei Brüchen mit 3, 6 oder 9 im Nenner nicht mit Dezimalzahlen zu rechnen, weil man gerne vergisst, dass man eigentlich mit einer periodischen Dezimalzahl rechnen müsste. So entspricht z.B.:

\frac{2}{3}=0,\bar{6} \approx 0,6666...

Beinhalten quadratische Gleichungen auch einen linearen Term bx, dann handelt es sich um gemischtquadratische Gleichungen. Ein Beispiel für eine solche Gleichung ist: 

ax^2+bx=0

Gleichungen dieser Form (ohne ein Absolutglied c!) löst man durch Ausklammern. Dabei setzt man den/die gemeinsamen Faktor(en) der Summanden vor die Klammer:

a\cdot x\cdot x+b\cdot x=0

x(ax+b)=0

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann null, wenn mindestens ein Faktor den Wert 0 hat, also entweder x = 0 oder der Term in der Klammer oder beide:  

0\cdot \left( a\cdot 0 +b \right) =0

Für den zweiten Fall überprüft man, welche Zahl man für x einsetzen müsste, damit der Term in der Klammer null wird. Das heißt, es muss folgende Gleichung gelöst werden:

ax+b=0

Fortsetzung folgt!



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