Generated by All in One SEO v4.9.10, this is an llms.txt file, used by LLMs to index the site. # mathemio.de Schnelle Mathe-Hilfe ## Sitemaps - [XML Sitemap](https://mathemio.de/sitemap.xml): Contains all public & indexable URLs for this website. ## Beiträge - [Kniffelige Ungleichungen](https://mathemio.de/kniffelige-ungleichungen/) - Spätestens im Studium bekommt man es mit Betrags- und Bruchungleichungen zu tun. Sie weisen Besonderheiten auf, sodass man bei der Suche nach der Gesamtlösung verschiedene Fälle unterscheiden muss. Die Lösungsmengen sind in der Regel Intervalle. 1. Bruchungleichungen Folgende Ungleichung soll gelöst werden: $$!\dfrac{x+2}{x-1}\le4$$ Eine Ungleichung kann man wie eine Gleichung durch Äquivalenzumformung lösen, d.h. auf beiden Seiten - [Ortskurve berechnen](https://mathemio.de/ortskurve-berechnen/) - Bei der Diskussion einer Funktionenschar, die zusätzlich zur Variablen noch einen oder mehrere Parameter enthält, wird häufig nach einer Ortskurve gefragt. - [Lage von Geraden und Ebenen](https://mathemio.de/lage-von-geraden-und-ebenen/) - Im dreidimensionalen Raum können Geraden und Ebenen verschieden angeordnet sein, sodass man folgende Möglichkeiten von Lagebeziehungen unterscheidet: parallel identisch bzw. enthalten schneidend orthogonal windschief Für eine Geradengleichung in Parameterform bzw. Punkt-Richtungsform braucht man einen Punkt der Geraden als Stützvektor und einen Richtungsvektor, den man sich auch aus zwei Punkten der Geraden (als Verbindungsvektor) errechnen kann: $$!g\!:\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}$$ Für - [Flächeninhalt regelmäßiger Polygone am Beispiel eines regelmäßigen Achtecks](https://mathemio.de/flaecheninhalt-achteck-und-regelmaessiger-polygone/) - Will man eine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Achtecks in Abhängigkeit von der Seitenlänge a herleiten, gibt es dafür mehrere Möglichkeiten ... - [Extremwertaufgaben](https://mathemio.de/extremwertaufgaben/) - Bei Extremwertaufgaben geht es um Optimierung. Man möchte z.B. wissen, bei welcher Menge der Gewinn am größten (maximal) ist ... - [Typen reeller Funktionen](https://mathemio.de/typen-reeller-funktionen/) - Manche Graphen sind gerade, manche kurvig, achsen- oder punktsymmetrisch, nähern sich einer gedachten Gerade, ohne sie zu je berühren. Sie weisen mitunter Lücken auf oder machen Sprünge ... - [Rechnen mit negativen Zahlen](https://mathemio.de/rechnen-mit-negativen-zahlen/) - Wenn man nur ein Bonbon hat und mit zwei Freunden zusammen ist, die auch eines wollen, dann bräuchte man eigentlich drei, d.h. es fehlen zwei ... - [Prozentrechnung](https://mathemio.de/prozentrechnung/) - Nicht nur in der Schule, auch bei Einstellungstests wird immer wieder gerne Prozentrechnung abgefragt, weil es nützlich ist zu wissen, wie viel man bei Rabatten wirklich spart oder was das Leihen von Geld wirklich kostet. Bei der Prozentrechnung gibt es mehrere Wege zum Ziel. Die vier wichtigsten Methoden kannst du hier nachlesen. Mit einem Klick auf das Vorschaubild - [Polynomdivision](https://mathemio.de/polynomdivision/) - Im Rahmen der Differenzialrechnung kommt man kaum an der Polynomdivision vorbei. Spätestens, wenn es um die Analyse einer höhergradigen Polynomfunktion geht, kann man die Gleichungen nicht mehr wie gewohnt lösen. Das kann schlimmstenfalls dazu führen, dass man die ganze Aufgabe nicht bearbeiten kann. Wer sich das Verfahren auf die Schnelle wieder ins Gedächtnis rufen will - [Mathe-Lücken-Füller-Quickie](https://mathemio.de/mathe-luecken-fueller-quickie/) - Kurz und knackig beschrieben, findest du hier alles, was du unbedingt in Mathe behalten haben solltest ... - [Formfehler vermeiden](https://mathemio.de/formfehler-vermeiden/) - Lehrer achten nicht nur darauf, ob das Ergebnis stimmt, sie achten auch auf die Form! Manche Fehler lassen sich einfach vermeiden ... - [Quadratische Gleichungen](https://mathemio.de/quadratische-gleichungen/) - Quadratische Gleichungen können ebenso wie quadratische Funktionen verschiedene Formen haben. Ein Beispiel für eine allgemeine quadratische Gleichung mit a ≠ 0 ist: $$!ax^2+bx+c=0$$ Für den Fall, dass b = 0 erhält man reinquadratische Gleichungen der Form: $$!ax^2+c=r$$ r steht dabei für irgendeine Zahl. Wenn es um die Berechnung von Nullstellen einer quadratischen Funktion geht, ist r - [Steckbriefaufgaben](https://mathemio.de/steckbriefaufgaben/) - Mit einem Steckbrief sucht man nach einer Person, bei Steckbriefaufgaben in der Mathematik sucht man nach einer Funktion - genauer gesagt nach einer Funktionsvorschrift bzw. Funktionsgleichung. In diesem Artikel geht es um die Bestimmung von ganzrationalen Funktionen mithilfe gegebener Eigenschaften. Das ist eigentlich nichts anderes als die Umkehrung einer Kurvendiskussion. Vorgehensweise: 1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung - [Gebrochenrationale Funktionen](https://mathemio.de/gebrochenrationale-funktionen/) - Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen, die aus einer Zählerfunktion und einer Nennerfunktion bestehen ... - [Kurvendiskussion](https://mathemio.de/kurvendiskussion/) - Einen großen Teil der Oberstufe beschäftigt man sich mit Kurven. Am Beispiel einer ganzrationalen Funktion wird gezeigt, wie man Funktionen untersucht ... - [Die Umkehrfunktion](https://mathemio.de/die-umkehrfunktion/) - Bei der Umkehrfunktion sind die Rollen von x und y im Vergleich zur Ausgangsfunktion vertauscht ... - [Horner-Schema](https://mathemio.de/horner-schema/) - Das Horner-Schema ist sowohl zur Bestimmung von Nullstellen, als auch zur schnellen Berechnung von Funktionswerten geeignet und bei den Schülern, die es kennen, meist beliebter als die Polynomdivision ... - [Praxisbeispiel: Klobrille](https://mathemio.de/praxisbeispiel-klobrille/) - Eine etwas skurrile Fragestellung befasst sich mit dem Flächeninhalt einer Klosettöffnung. Die Abbildung zeigt die durch Messen ermittelte Form: Eine grobe Schätzung durch Multiplikation der Abstände an der längsten und breitesten Stelle ließe einen Flächeninhalt von: $$A_s=32cm\cdot26cm=832cm^2$$ vermuten, aber das wäre nur eine schlechte Annäherung, denn es handelt sich hierbei um zwei aneinandergesetzte Parabeln, von denen eine nach - [Rotationsvolumen](https://mathemio.de/rotationsvolumen/) - Mit der Integralrechnung kann man die Fläche zwischen einem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen. Lässt man diese Kurve um die x-Achse drehen (rotieren), entsteht ein sogenannter Rotationskörper, dessen Volumen sich mit folgender Formel berechnen lässt: $$!V=\pi\int\limits_{a}^{b}\!(f(x))^2dx$$ Fallbeispiel: Eine Glasmanufaktur bekommt den Auftrag, einen neuen Champagnerkelch zu entwerfen. Er soll 0,1 l Inhalt fassen - [Zusammenhang Ableitungen](https://mathemio.de/zusammenhang-ableitungen/) - Wenn man sich ins Gedächtnis ruft, worum es bei der Ableitung geht - um Steigung einer imaginären Tangente und damit um die Steigung an einem bestimmten Punkt der Kurve - dann kann man sich damit gute Eselsbrücken bauen. Die Abbildung zeigt die Ausgangsfunktion mit ihrer ersten, zweiten und dritten Ableitung: Extremstellen Der Graph der ersten - [Das Tangentenproblem](https://mathemio.de/das-tangentenproblem/) - Die Tangente als Hilfsmittel zur Berechnung der Steigung an einem bestimmten Punkt eines Funktionsgraphen. - [Nullstellen ganzrationaler Funktionen](https://mathemio.de/nullstellen-ganzrationaler-funktionen/) - Ich habe mal versucht, den Prozess des Lösens von Gleichungen mit ganzrationalen Funktionen zum Zwecke der Nullstellen-Bestimmung - wie sie bei Kurvendiskussionen ständig vorkommen - als Entscheidungsbaum bzw. Flussdiagramm darzustellen. Die Wahl der geeigneten Verfahren ist also nicht ganz so einfach, wie man vielleicht glauben mag. Es sind einige Ja/Nein - Entscheidungen. Wen wundert es - [Die Wurfparabel](https://mathemio.de/die-wurfparabel/) - Am Beispiel einer Wurfparabel, als eine typische Anwendungsaufgabe für quadratische Funktionen, kann man das Lösen eines mathematischen Problems strukturiert lösen lernen. - [Quadratische Funktionen](https://mathemio.de/quadratische-funktionen/) - Eine der wohl bekanntesten quadratischen Funktionen, stellt die Flächeninhaltsfunktion eines Quadrates dar. Sie ergibt sich aus der Multiplikation der Seitenlängen, die beim Quadrat gleich lang sind:$$!A(x)=x\cdot x={ x }^{ 2 }$$ Setzt man für die Variable x mögliche Seitenlängen ein, dann erhält man folgende Funktionswerte: Seitenlänge x 0 1 2 3 4 Flächeninhalt A(x) 0 1 - [Lineare Funktionen](https://mathemio.de/lineare-funktionen/) - Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x genau ein y zugeordnet wird. Du hast vielleicht schon proportionale Zuordnungen kennengelernt: Anzahl Personen Gesamtpreis für Kinokarten in Euro 0 0 1 9 2 18 3 27 x y = x • 9 = 9x Eindeutig bedeutet: Es kann für eine bestimmte Anzahl Personen nur einen - [Was ist eine Funktion?](https://mathemio.de/was-ist-eine-funktion/) - Das Thema Funktionen ist ein großer Bereich in der Mathematik. Es gibt u.a. lineare, quadratische, Potenz-, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, die man in der Regel bis zum Abitur kennenlernt. Doch gerade am Anfang verstehen viele Schüler nicht wirklich, was eine Funktion ist, bzw. wofür sie nützlich sein könnte. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Was - [Sachaufgaben lösen: Step by Step!](https://mathemio.de/sachaufgaben-loesen-step-by-step/) - Wie geht das nun praktisch, wenn ich keine Zahlen, sondern nur Text vor mir habe? Hier zeige ich dir, wie ich vorgehe ... Zuerst lese ich mir den Text durch. Dabei gewinne ich eine grobe Vorstellung, um was es gehen könnte. Selbst wenn ich es nicht auf Anhieb verstehe, mache ich weiter. Ich lese den - [Trigonometrische Funktionen zeichnen](https://mathemio.de/trigonometrische-funktionen-zeichnen/) - Wer vor der Aufgabe steht, den Graphen einer Winkelfunktion zu zeichnen, kommt schnell mal ins Schwitzen, denn diese können sich hinsichtlich folgender Punkte unterscheiden: Amplitude Periode oder Frequenz (Kehrwert der Periode) Verschiebung in x-Richtung (Phasenverschiebung) Verschiebung in y-Richtung Die elementare Sinusfunktion: Die Sinuskurve Trigonometrische Funktionen sind periodisch, d.h. es treten in gleichen Abständen wiederkehrend dieselben Funktionswerte auf. - [Mathe im Alltag](https://mathemio.de/mathe-im-alltag/) - Im Alltag hat man in der Regel keine Formelsammlung dabei und der Taschenrechner des Handys ist auch nicht sonderlich komfortabel. Wer trotzdem schnell einfache Berechnungen durchführen möchte, schaue sich diese Praxisbeispiele an. Vielleicht ist ja das Passende dabei ... 10% einer Zahl ist dasselbe wie: $$Zahl : 10$$ (geht auch im Kopf, wenn man das Komma - [Praxisbeispiel: Fitnessstudio](https://mathemio.de/praxisbeispiel-fitnessstudio/) - Gerade junge Menschen halten die Wochenpreise einiger Fitnessstudios für besonders günstig. Die Preisgestaltung soll nicht nur die Vergleichbarkeit erschweren, sondern auch den Anschein erwecken, das Training würde fast nichts kosten. Außerdem scheinen die Macher damit zu rechnen, dass die Mehrheit ihrer potenziellen Mitglieder entweder nicht rechnen kann, oder es aus Bequemlichkeit lässt, was folgendes Beispiel zeigen soll. Ich habe mir - [Anwendungsaufgaben Funktionen](https://mathemio.de/anwendungsaufgaben-funktionen/) - Schüler bekommen meist dann Probleme, wenn es darum geht, das Erlernte auf eine reale Situation anzuwenden. Sie lernen, welche Funktionen es gibt, haben aber keinen blassen Schimmer, wozu diese gut sind. Viele Oberstufenschüler können auf Anhieb alle Ableitungen berechnen - aber warum man das macht, wissen sie nicht. Es ist schon ein bisschen traurig, dass - [Praxisbeispiel: Kontoüberziehung](https://mathemio.de/praxisbeispiel-kontoueberziehung/) - Die Zinsen sind zwar gerade allgemein niedrig, aber der Zinssatz des Dispositionskredits Deiner Bank wird sicherlich trotzdem über 10 % liegen ... - [Die Ableitung](https://mathemio.de/die-ableitung/) - Die Ableitung einer Funktion ist wiederum eine Funktion. Kennen wir diese, dann können wir damit an jedem Punkt einer Kurve die Steigung berechnen ... - [Gleichungssysteme mit zwei Variablen](https://mathemio.de/gleichungssysteme-mit-zwei-variablen/) - Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lassen sich mit dem Einsetzungsverfahren, dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren lösen. - [Gauß-Algorithmus](https://mathemio.de/gauss-algorithmus/) - Spätestens wenn man Gleichungssysteme (kurz: LGS) mit drei oder mehr Gleichungen lösen will, bekommt man mit den bisher bekannten Verfahren Probleme ... - [Dein Mathe-Journal](https://mathemio.de/dein-mathe-journal/) - Ich empfehle meinen Schülern das Anlegen eines "Mathe-Journals". Die ganz persönliche Sammlung aller wichtigen Fakten, Formeln, Leitsätze, Übersichten und Begriffserklärungen. Da es nur für dich ist, darfst du darin nach Herzenslust malen und deine Notizen farbig bebildern. Dieses Nachschlagewerk soll dir jederzeit einen schnellen Überblick über alles Wichtige ermöglichen - besonders dann, wenn die alten - [Partielle Integration](https://mathemio.de/partielle-integration/) - Die Methode der partiellen Integration dient der Berechnung eines Integrals, dessen Integrand entweder ein Produkt ist oder auf anderem Wege schwieriger zu berechnen wäre. "Partiell" bedeutet: teilweise, d.h. es entsteht bei der partiellen Integration wieder ein Integral, das man kennen sollte bzw., das sich durch erneute partielle Integration bestimmen lässt. Das ist insofern wichtig, da wir - [Bruchrechnung](https://mathemio.de/bruchrechnung/) - Selbst Oberstufenschüler scheitern immer wieder an den einfachen Regeln der Bruchrechnung. Der Taschenrechner hilft dann wenig, wenn man mit Variablen zu tun hat - wie z.B. bei der Ableitung von Funktionenscharen oder auch beim Lösen von Gleichungen. Daher legen Lehrer im Allgemeinen großen Wert darauf, dass sich Schüler mit Kürzen und Erweitern, sowie den Grundrechenarten ## Seiten - [Mein Mathebuch online](https://mathemio.de/) - mathemio.de ist das Online-Mathebuch des Mathe-Coachs Sabine Degen. Ausgewählte Aufgabenstellungen fürs Selbststudium. - [Formelsammlung](https://mathemio.de/formelsammlung/) - Die Formelsammlung von mathemio.de wird stetig erweitert. Zurzeit findest du dort die wichtigsten Ableitungen und Stammfunktionen ... - [Lexikon](https://mathemio.de/lexikon/) - Erklärung der wichtigsten mathematischen Begriffe. - [Mathe-Themen nach Klassenstufen](https://mathemio.de/mathe-themen-nach-klassenstufen/) - Der Rahmenlehrplan Rheinland-Pfalz im Fach Mathematik unterscheidet sogenannte "Leitideen" von Kompetenzen. So wird z.B. der Zahlenraum über die Jahre stetig erweitert. In der Oberstufe geht es dann viel um Funktionen, sodass es Sinn macht, diesbezüglich auf dem Laufenden zu bleiben. Es kommt meist nur etwas dazu, indem man weiter in die Tiefe geht oder differenziert. - [Inhaltsverzeichnis](https://mathemio.de/inhaltsverzeichnis/) - Damit du schnell das Mathe-Thema findest, das dich interessiert. - [Checkliste](https://mathemio.de/check-it/) - Check dein Mathe-Grundlagen-Wissen in Algebra und Funktionslehre ... - [Lernkarten](https://mathemio.de/lernkarten/) - >> Die Lernkarten sind Eigentum von mathemio.de und urheberrechtlich geschützt! Vervielfältigung und/oder Ausdruck nur für den privaten Gebrauch zulässig. - [Impressum](https://mathemio.de/mathe-verstaendlich-erklaert/impressum/) - Verantwortlich für den Inhalt von mathemio.de ist: Der MATHE COACH Dipl.-Kffr. Sabine Degen An der Pferdsweide 42 54296 Trier Tel.: +49 651 5611332 Mail: info@mathecoach-trier.de Web: www.mathemio.de St.-Nr.: 42/028/3064/7 Bildnachweise Profilfoto: © FOTOSTUDIO64-Trier Check it! © benik.at – Fotolia.com Kurvendiskussion Einführung: © Hunta - Fotolia.com Inhalte Die Inhalte dieser Webseite werden mit größtmöglicher Sorgfalt erstellt. 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