Mathe-Lücken-Füller-Quickie

Es gibt typische Wissens-Lücken in Schulmathematik, an denen die meisten Nachhilfe-Schüler immer wieder scheitern. Interessanterweise ziehen sich diese mangelnden Kenntnisse wie ein roter Faden durch alle Klassenstufen und Schulformen nach der Orientierungsphase. Meist beruhen sie einfach nur darauf, dass der Mathematiker gut im Weglassen ist. Ich möchte diese Lücken schließen. Kurz und knackig beschrieben, findest du hier alles, was du unbedingt behalten haben solltest. Helfe bitte durch Teilen und eigene Anregungen mit, daraus eine möglichst umfassende Sammlung werden zu lassen.

1. Maßeinheiten

Es kommt bei den Maßeinheiten darauf an, um was es geht:

Länge (Umrechnungsfaktor: 10)
Flächeninhalt (Umrechnungsfaktor: 100)
Volumen (Umrechnungsfaktor: 1000)

Umfang ist ein Längenmaß. Beim Fassungsvermögen – z.B. der Inhalt eines Bechers – sucht man das Volumen. Um das Gewicht eines Körpers zu berechnen, braucht man auch das Volumen, aber dann ist das Volumen des Materials gemeint.

Länge	1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm	Der Dezimeter wird gerne vergessen
Flächen-inhalt	1 m² = 100 dm² = 10.000 cm² = 1.000.000 mm²	100 mal 100 ist nicht 1.000, sondern 10.000!
Flächen-inhalt	1 km² = 100 ha = 10.000 a	100 mal 100 ist nicht 1.000, sondern 10.000!
Volumen	1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³	1 dm³ ist so viel wie 1 Liter!

2. Prozentrechnung

In Textaufgaben taucht immer wieder Prozentrechnung auf, auch wenn das Thema schon lange vorbei ist. Daher kann man es voraussetzen. Meist braucht man es, weil es um eine prozentuale Vermehrung oder Verminderung geht oder man soll Anteile bestimmen:

Den Prozentwert berechnet man, indem man den Grundwert [G] mit dem Prozentsatz [p%] multipliziert. Beispiel: 20% von 250:

Rechnung: $250\cdot\frac{20}{100}=50$ oder einfach: $250\cdot0,2=50$

Bei einem Rabatt von 20% würde man mit dem Faktor 1-0,2 rechnen, denn man bezahlt nicht mehr den vollen Preis [100%], sondern nur noch (100-20), also 80%:

Rechnung: $250\cdot0,8=200$

Bei einer Vermehrung, addiert man die Prozentzahl zu 100 Prozent dazu und multipliziert dann mit diesem Wachstumsfaktor – auch q genannt.

Ist der Prozentsatz gesucht, muss man einfach nur den Anteil durch die Gesamtmenge teilen. Man erhält dann eine Dezimalzahl, die man auch in Prozent darstellen kann.

3. Minusklammer

Wenn vor einer Summen- oder Differenz-Klammer ein Minuszeichen steht, drehen sich beim Ausmultiplizieren der Klammer die Vorzeichen um, denn man könnte sich genauso gut eine -1 vor der Klammer vorstellen:

$-(x-2)=-1\cdot(x-2)=-1x+2=-x+2$

4. Binomische Formeln

Binomische Formeln sind für viele Schüler schwere Kost, dabei sind sie eigentlich eine Arbeitserleichterung, denn sonst müsste man zwei Klammern miteinander multipizieren. Doch bevor du sie gar nicht anwenden kannst, solltest du einfach die zweite Spalte berechnen:

$(a+b)^2$	=	$(a+b)(a+b)$	=	$a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2$	=	$(a-b)(a-b)$	=	$a^2-2ab+b^2$
	=	$(a+b)(a-b)$	=	$a^2-b^2$

Das Strickmuster für die ersten beiden Formeln geht so: Quadriere (mit sich selbst multiplizieren) die Zahl, Variable oder Term [a], die/der vorne in der Klammer steht, und schreibe das Ergebnis zuerst auf, dann quadriere die Zahl, Variable oder Term, die/der hinten in der Klammer steht [b] und notiere das Ergebnis mit etwas Abstand zum ersten. Nun errechne das Produkt aus vorne mal hinten (oder umgekehrt) und verdopple (mal zwei) es [2ab]. Jetzt musst du dir nur noch das Vorzeichen der zu quadrierenden Klammer anschauen. Steht dort ein Minuszeichen, zieht man 2ab ab, ansonsten addiert man es hinzu. Dieser Term kommt in die Mitte. Beispiel:

$(x-2)^2=x^2-4x+4$

5. Potenz- und Wurzelgesetze

Eine Potenzregel ist besonders wichtig, denn man braucht sie später um Ableitungen zu bilden:

$\dfrac { 1 }{ x } ={ x }^{ -1 }$ $\dfrac { 1 }{ x^2 } ={ x }^{ -2 }$ allgemein: $\dfrac { 1 }{ x^n } ={ x }^{ -n }$

Wurzeln kann man auch als Potenz schreiben:

$\sqrt{x}=\sqrt[ 2 ]{ x^1 }=x^{\frac{1}{2}}$

Fortsetzung folgt!