Mit der Integralrechnung kann man die Fläche zwischen einem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen. Lässt man diese Kurve um die x-Achse drehen (rotieren), entsteht ein sogenannter Rotationskörper, dessen Volumen sich mit folgender Formel berechnen lässt: Fallbeispiel: Eine Glasmanufaktur bekommt den Auftrag, einen neuen Champagnerkelch zu entwerfen. Er soll 0,1 l Inhalt fassen und […]
Kategorie: Analysis
Zur Analysis gehört die Differenzial- und Integralrechnung.
Partielle Integration
Die Methode der partiellen Integration dient der Berechnung eines Integrals, dessen Integrand entweder ein Produkt ist oder auf anderem Wege schwieriger zu berechnen wäre. „Partiell“ bedeutet: teilweise, d.h. es entsteht bei der partiellen Integration wieder ein Integral, das man kennen sollte bzw., das sich durch erneute partielle Integration bestimmen lässt. Das ist insofern wichtig, da wir […]
Praxisbeispiel: Klobrille
Eine etwas skurrile Fragestellung befasst sich mit dem Flächeninhalt einer Klosettöffnung. Die Abbildung zeigt die durch Messen ermittelte Form: Eine grobe Schätzung durch Multiplikation der Abstände an der längsten und breitesten Stelle ließe einen Flächeninhalt von: vermuten, aber das wäre nur eine schlechte Annäherung, denn es handelt sich hierbei um zwei aneinandergesetzte Parabeln, von denen eine nach […]
Ortskurve berechnen
Bei der Diskussion einer Funktionenschar, die zusätzlich zur Variablen noch einen oder mehrere Parameter (z.B. k oder t) enthält, wird häufig nach einer Ortskurve gefragt. Das macht insofern Sinn, da Scharen von Funktionen auch mehrere Funktionsgraphen haben, die wiederum ihre eigenen Extrem- und Wendepunkte besitzen. Eine Ortskurve ist die Funktion, die diese Punkte (Tiefpunkte, Hochpunkte oder Wendepunkte) graphisch gesehen miteinander […]
Steckbriefaufgaben
Mit einem Steckbrief sucht man nach einer Person, bei Steckbriefaufgaben in der Mathematik sucht man nach einer Funktion – genauer gesagt nach einer Funktionsvorschrift bzw. Funktionsgleichung. In diesem Artikel geht es um die Bestimmung von ganzrationalen Funktionen mithilfe gegebener Eigenschaften. Das ist eigentlich nichts anderes als die Umkehrung einer Kurvendiskussion. Vorgehensweise: 1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung […]
Extremwertaufgaben
Bei Extremwertaufgaben geht es um Optimierung. Man möchte z.B. wissen, bei welcher Menge der Gewinn am größten (maximal) ist oder die Kosten am niedrigsten (minimal) sind. Wer bereits den Ableitungsbegriff kennt und verschiedene Funktionstypen ableiten kann, wird bald den Sinn und Zweck des Ganzen erkennen. Mithilfe der Differenzialrechnung lassen sich nämlich Extremstellen bzw. Extrempunkte exakt und direkt berechnen. Das kommt […]
Gebrochenrationale Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen, die aus einer Zählerfunktion und einer Nennerfunktion bestehen: Sie weisen gegenüber ganzrationalen Funktionen Besonderheiten auf, denn die Variable – hier x – steht bei echt gebrochenrationalen Funktionen (auch) im Nenner. Direkt zum Zahlenbeispiel 1. Definitionsbereich Da man durch Null nicht dividieren kann, ist eine gebrochenrationale Funktion an diesen Stellen nicht definiert: […]
Kurvendiskussion
Einen großen Teil der Oberstufe beschäftigt man sich mit Kurven. Viele Dinge unseres Lebens zeichnen sich durch einen kurvigen Verlauf aus. Die Abbildung zeigt z.B. zwei Kamelhöcker und den gekrümmten Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, der annähernd die Silhouette dieser Höcker beschreibt: Wie man unschwer erkennen kann, sitzt man zwischen den Höckern – […]
Zusammenhang Ableitungen
Wenn man sich ins Gedächtnis ruft, worum es bei der Ableitung geht – um Steigung einer imaginären Tangente und damit um die Steigung an einem bestimmten Punkt der Kurve – dann kann man sich damit gute Eselsbrücken bauen. Die Abbildung zeigt die Ausgangsfunktion mit ihrer ersten, zweiten und dritten Ableitung: Extremstellen Der Graph der ersten […]
Die Ableitung
Die Ableitung einer Funktion ist wiederum eine Funktion:
Das Tangentenproblem
Im Rahmen einer Funktionsanalyse bzw. Kurvendiskussion kommen zwei Arten von Geraden, die man in Verbindung mit dem Kreis kennengelernt hat, wieder ins Spiel: Die Sekante und die Tangente.
Typen reeller Funktionen
Wenn man eine Funktion graphisch darstellt, erkennt man bereits an der Form, wie sich der Verlauf mit größer oder kleiner werdendem x verändert. Manche Graphen sind gerade, manche kurvig, achsen- oder punktsymmetrisch, nähern sich einer gedachten Gerade, ohne sie zu je berühren. Sie weisen mitunter Lücken auf oder machen Sprünge. Das Schaubild zeigt die Graphen […]