Partielle Integration

Die Methode der partiellen Integration dient der Berechnung eines Integrals, dessen Integrand entweder ein Produkt ist oder auf anderem Wege schwieriger zu berechnen wäre.

„Partiell“ bedeutet: teilweise, d.h. es entsteht bei der partiellen Integration wieder ein Integral, das man kennen sollte bzw., das sich durch erneute partielle Integration bestimmen lässt. Das ist insofern wichtig, da wir uns aussuchen können, welchen Faktor wir später ableiten und welchen wir aufleiten wollen.

Die partielle Integration findet insbesondere bei Produkten mit e-Funktionen, ln-Funktionen und trigonometrischen Funktionen Anwendung. Es macht daher Sinn, sich mit gewissen Grundintegralen und -differenzialen vertraut zu machen:

Ableitungsfunktion f'(x)	Funktion f(x) = F'(x)	Stammfunktion F(x)
$\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac {1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{x}=x^{\frac {1}{2}}$	$\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$
$a^x \cdot ln\,a$	$a ^x$	$\frac{1}{ln\,a} \cdot a^x$
$e^x$	$e^x$	$e^x$
$b e^{bx}$	$e^{bx}$	$\frac{1}{b} e^{bx}$
$a \cdot b e^{bx}$	$a \cdot e^{bx}$	$a\cdot \frac{1}{b} e^{bx}=\frac{a}{b} e^{bx}$
$\frac{1}{x}$	$ln\,x$	$x \cdot ln\,x-x$
$-x^{-2}= -\frac{1}{x^2}$	$\frac{1}{x}=x^{-1}$	$ln\,x$

← differenzieren ←  |  → integrieren →

Ableitungsfunktion f'(x)	Funktion f(x) = F'(x)	Stammfunktion F(x)
$cos\,x$	$sin\,x$	$-cos\,x$
$-sin\,x$	$cos\,x$	$sin\,x$
$\frac{1}{cos^2\,x}=1+tan^2\,x$	$tan\,x$	$-ln(\|cos\,x\|)$
$2 \cdot cos (2x)$	$sin (2x)$	$\frac{1}{2}(-cos (2x))$
$2 \cdot sin\,x \cdot cos\,x$	$sin^2\,x$	$\frac{1}{2}(x-sin\,x\cdot cos\,x)$

Die partielle Integration leitet sich von der Produktregel ab, denn sie macht sich folgenden Zusammenhang zunutze:

$(u(x)\cdot v(x))'=u'(x)\cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x))$ oder kurz:
$(uv)'=u'v+u\, v'$

wenn man beide Seiten der Gleichung integriert, erhält man:

$u(x)\cdot v(x)=\int\!{u'(x)\cdot v(x)\,dx}+\int\!{u(x)\cdot v'(x)\,dx}$

Nun kann man entweder das eine oder andere Integral durch Subtraktion auf die andere Seite der Gleichung bringen:

$\int\!{u(x) \cdot v'(x)\,dx}=u(x)\cdot v(x)-\int\!{u'(x)\cdot v(x)\,dx}$ oder
$\int\!{u'(x) \cdot v(x)\,dx}=u(x)\cdot v(x)-\int\!{u(x)\cdot v'(x)\,dx}$

Die Formel der partiellen Integration gilt sinngemäß auch für bestimmte Integrale:

$\int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,dx = \int\limits_{a}^{b}\!{u(x) \cdot v'(x)\,dx}=\left[u(x)\cdot v(x)\right]_{a}^b-\int\limits_{a}^{b}\!{u'(x)\cdot v(x)\,dx}$

Beispiel: gesucht ist:

$\int\limits_{a}^{b} x \cdot\!sin\,x\ dx$

Man kann sich entscheiden, was u und was v sein soll, denn eines davon muss man später ableiten und das andere aufleiten.

Wählt man $u(x) = x$ und $v'(x) = sin\,x$
dann braucht man später: $u'(x) = 1$ und $v(x) = -cos\,x$

Entscheidet man sich dafür, dass der erste Faktor die abgeleitete Funktion sein soll, dann ist: $u'(x)=x$ und $v(x) = sin\,x$
mit: $u(x)=\frac{1}{2}x^2$ und $v'(x)=cos\,x$

Die erste Variante führt zu einem einfacheren Restintegral, weil darin nur ein Faktor wieder eine Funktion ist (Achtung: 1 ist ein konstanter Faktor und wird nicht aufgeleitet!) Bei der zweiten Alternative müsste man wieder das Integral eines Produktes zweier Funktionen mit erneuter partieller Integration bestimmen, was viel aufwändiger wäre und nicht der Sinn dieser Methode ist.

$I =\int\limits_{a}^{b} x \cdot\!sin\,x\ dx= \left[ x\cdot (-cos\,x)\right]_{a}^{b} -\int\limits_{a}^{b}\!1\cdot (-cos\,x)\,dx$

$= \left[ -x\cdot cos\,x \right]_{a}^{b} - \left[ -sin\,x \right]_{a}^{b}$

$= \left[ -x\cdot cos\,x + sin\,x \right]_{a}^{b}$ (Summenregel)

$= \left[ sin\,x - x \cdot cos\,x \right]_{a}^{b}$

Sind a und b bekannt, dann setzt man wie gewohnt zuerst die obere Grenze in die Stammfunktion ein und dann die untere Grenze und errechnet danach die Differenz (Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung):

$I =\int\limits_{a}^{b}\!f(x)dx = \left [F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Wer die Methode der partiellen Integration üben möchte, der findet hier zwei Übungsblätter zur Bestimmung der Stammfunktionen von Exponential-, wie auch trigonometrischen Funktionen:

Fortsetzung folgt!