Flächeninhalt regelmäßiger Polygone am Beispiel eines regelmäßigen Achtecks

Will man eine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Achtecks in Abhängigkeit von der Seitenlänge a herleiten, gibt es dafür mehrere Möglichkeiten. Man kann das regelmäßige Vieleck (Polygon) z.B. in bekannte Figuren zerlegen. Die Abbildung zeigt eine mögliche Aufteilung in zwei Trapeze und ein Rechteck – aber auch andere Aufteilungen sind denkbar und sinnvoll. Wer es selbst einmal ausprobieren möchte, kann sich hier eine Vorlage zum Ausdrucken downloaden: Druckvorlage Achteck
4 Lösungswege findet man hier …

Alle regelmäßigen Vielecke mit n gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln lassen sich in gleich große (kongruente), gleichschenklige Dreiecke teilen:

Für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks gilt:

A=\dfrac {g\cdot h}{2}

Auf dieses Beispiel bezogen, lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt berechnen:

A_{1}=\dfrac {a \cdot h_a}{2}

ha entspricht dabei dem Radius des Inkreises ri

A_{1}=\dfrac {a\cdot r_{i}}{2}

nach Pythagoras gilt:        x^2+x^2=2x^{2}=a^{2}   

x=\sqrt {\dfrac {a^{2}}{2}}=\dfrac {a}{\sqrt {2}}=\dfrac {a\sqrt {2}}{2}

r_{i}=\dfrac {a}{2}+x

r_{i}=\dfrac {a}{2}+\dfrac {a\sqrt {2}}{2}=\dfrac {a}{2}\left( 1+\sqrt {2}\right)

A_{1}=\dfrac {a^{2}}{4}\left( 1+\sqrt {2}\right)

Da ein regelmäßiges Achteck (Oktogon) aus acht gleich großen Dreiecken besteht, muss der Flächeninhalt auch 8-mal so groß sein:

A_{8}=8 \cdot \dfrac {a^{2}}{4}\left( 1+\sqrt {2}\right) = 2a^2\left( 1+\sqrt {2}\right)

Allgemein gilt für ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten:

A_{n}=n\cdot \dfrac {ar_{i}}{2}=\dfrac{n}{2}ar_{i}

 

Alternative 1:

\tan \left( \frac {\alpha }{2}\right) =\dfrac {\frac {a}{2}}{r_{i}}

ri entspricht dabei der Höhe auf a

r_i=\dfrac {\frac {a}{2}}{\tan \left( \frac {\alpha }{2}\right) }=\dfrac {a}{2\cdot \tan \left( \frac {\alpha}{2}\right)}

A_{1}=\dfrac {a\cdot \frac {a}{2\cdot \tan \left( \frac {\alpha }{2}\right) }}{2}=\dfrac {a^{2}}{4\cdot \tan \left( \frac {\alpha }{2}\right) }

Beim Achteck ist der Mittelpunktswinkel eines Kreisausschnitts und damit der Winkel des betrachteten Dreiecks ein Achtel des Vollwinkels groß:

\alpha =\dfrac {360^{\circ }}{8}=45^{\circ }

Der Flächeninhalt des Achtecks lässt sich demnach wie folgt berechnen:

A_8=8\cdot \dfrac {a^{2}}{4\cdot \tan \left( \frac {45^{\circ }}{2}\right) }=\dfrac{2a^2}{\tan (22,5^\circ) }

Was auch nicht verwundert, da:

\tan (22,5^\circ) =\dfrac{1}{\left( 1+\sqrt {2}\right)}=\sqrt{2}-1

Allgemein gilt somit für ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten:

\alpha =\dfrac {360^{\circ }}{n}
   
\dfrac {\alpha }{2}=\dfrac {\frac {360^{\circ }}{n}}{2}=\dfrac {360^{\circ }}{2n}=\dfrac {180^{\circ }}{n}

A_{n}= n \cdot \dfrac{a^{2}}{4\cdot \tan \left( \frac {180^{\circ }}{n}\right) }=\dfrac {na^{2}}{4 \cdot \tan \left( \frac {180^{\circ }}{n}\right) }

Alternative 2:

Da die einzelnen Dreiecke gleichschenklig sind, sind die Basiswinkel eines jeden gleich groß. Sie ergänzen sich mit dem Mittelpunktswinkel α zu 180°. Daraus ergibt sich für den Innenwinkel β des Achtecks – und auch allgemein für den Innenwinkel regelmäßiger Polygone:

\alpha +\beta =180^{\circ }

\beta =180^{\circ}-\alpha

Damit gilt auch:

\tan \left( \frac {\beta }{2}\right) =\dfrac {h_a}{\frac {a}{2}}

h=\tan \left( \frac {\beta }{2}\right) \cdot \dfrac {a}{2}

A_{1}=\dfrac {a^2}{4}\cdot \tan \left( \frac {\beta }{2} \right)

A_{n}= n \cdot \dfrac {a^2}{4}\cdot \tan \left( \frac {\beta }{2} \right)

Alternative 3:

Aber auch andere Ansätze sind möglich, die sich über die Flächengleichheit der Teile ergeben:

A_{8Eck}=4\cdot \dfrac {x^{2}}{2}+4ax+a^{2}=2x^{2}+4ax+a^{2}

x=\sqrt {\dfrac {a^{2}}{2}}=\dfrac {a}{\sqrt {2}}=\dfrac {a\sqrt {2}}{2}

A_{8Eck}=2\cdot \dfrac {a^{2}}{2}+4\cdot \dfrac {a\sqrt {2}}{2}+a^{2}=a^{2}+2a\sqrt {2}+a^{2}=2a^{2}+2a\sqrt {2}

A_{8Eck}=2a^{2}\left( 1+\sqrt {2}\right)

Viel Spaß beim Knobeln und Ausprobieren weiterer Ansätze!

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