Die Umkehrfunktion

Bei einer Funktion wird jeder reellen Zahl x aus der Definitionsmenge genau eine reelle Zahl y aus der Wertemenge zugeordnet. Eine Funktion kann also an einer Stelle nicht verschiedene Funktionswerte haben! Bei der Umkehrfunktion sind die Rollen von x und y im Vergleich zur Ausgangsfunktion vertauscht. Daraus leitet sich ab, dass eine Funktion nur dann umkehrbar ist, falls es zu jedem

y \in W_f  nur ein  x \in D_f  mit  f(x)=y  gibt.

Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man durch Achsenspiegelung an der Winkelhalbierenden: y = x. Auch die Koordinaten der Punkte einer Umkehrfunktion sind gegenüber der Ausgangsfunktion vertauscht – das hilft beim Zeichnen. Außerdem gilt:

D_{\bar{f}}= W_f   und   W_{\bar{f}}=D_f

mit \bar{f} Umkehrfunktion, man schreibt auch f^{-1}

Soll man eine Umkehrfunktion bestimmen, bedarf es folgender Schritte:

  • Untersuchung der Ausgangsfunktion auf Umkehrbarkeit (gibt es an verschiedenen Stellen denselben Funktionswert?).
  • Eventuell Definitionsbereich neu festlegen.
  • Definitonsbereich der Umkehrfunktion bestimmen (ist gleich des Wertebereichs der Ausgangsfunktion).
  • Gleichung: y = f(x) nach x auflösen.
  • Variablen tauschen.

Beispiel:                f(x)= (x+2)^2

Es handelt sich dabei um eine nach links verschobene Normalparabel. Diese hat bekanntlich immer (bis auf x = -2) an zwei Stellen denselben Funktionswert. Man muss daher den Definitionsbereich auf einen „Arm“ einschränken:

 D_f=[-2\, ; \infty[                W_f=[\,0\, ; \infty [

Da der Defnitionsbereich der Umkehrfunktion dem Wertebereich der Ausgangsfunktion entspricht, sind wir mit dem dritten Schritt schnell fertig:

D_{\bar{f}}= [\,0\, ; \infty [                W_{\bar{f}}=[-2\, ; \infty[

Nun wird  die Gleichung umgeformt:

    y = (x+2)^2

\sqrt{y}=x+2

      \sqrt{y}-2=x

Zum Schluss noch die Variablen vertauschen, und schon hat man die Umkehrfunktion bestimmt:  

y={\bar{f}}(x)=\sqrt{x}-2

Für Fortgeschrittene: Wer sich bereits mit Ableitung und Monotonieverhalten auskennt, kann sich bei der Bestimmung der Umkehrbarkeit auch diesen Satz zunutze machen: Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.

Streng monoton steigend ist eine Funktion in einem bestimmten Intervall, wenn gilt:
f'(x) > 0 , streng monoton fallend, wenn: f'(x) < 0.

Schreibt man die Funktion als Polynom auf:

 f(x)= x^2+4x+4   und bildet die erste Ableitung, f'(x)=2x+4

dann braucht man lediglich zwei Ungleichungen lösen: Für welches x ist 2x + 4 > 0
bzw 2x + 4 < 0. Man muss sich dann nur noch für einen Bereich entscheiden, den steigenden oder fallenden.



Deine Nachricht ...

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit einem Sternchen markiert *

Ergänze das leere Feld: * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.

Ich weiß, was Cookies sind und stimme der anonymisierten Datenspeicherung zu rein statistischen Zwecken zu. Mehr erfahren

Durch den Besuch dieser Webseite können Informationen über den Zugriff (Datum, Uhrzeit, betrachtete Seite) auf dem Server gespeichert werden. Diese Daten gehören nicht zu den personenbezogenen Daten, sondern sind anonymisiert. Sie werden ausschließlich zu statistischen Zwecken ausgewertet. Eine Weitergabe an Dritte, zu kommerziellen oder nicht-kommerziellen Zwecken, findet nicht statt.

Schließen